Cálculo Ejemplos

$e^{y} = x^{2} + y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{y} y' = 2 y y' + 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $e^{y} y'$ .

$y' e^{y} = 2 y y' + 2 x$

Paso 5.2

Resta $2 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$y' e^{y} - 2 y y' = 2 x$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $y' e^{y} - 2 y y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $y' e^{y}$ .

$y' (e^{y}) - 2 y y' = 2 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (e^{y}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ por $e^{y} - 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ por $e^{y} - 2 y$ .

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{y} - 2 y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$