Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 2.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 2.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 2.2.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Paso 2.3.6.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Paso 2.3.7

Combina $\frac{4}{3}$ y $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ y $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Paso 2.4

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Paso 5

Resuelve $x^{\frac{1}{3}}$

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Paso 5.1

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{3}}$ que esté presente en cada término.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Paso 5.2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Paso 5.3

Resuelve $u$

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Paso 5.3.1

Reordena los factores en $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Paso 5.3.2

Resta $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 5.3.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Factoriza $4$ de $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

Paso 5.3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

Paso 5.3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

Paso 5.3.4.3.2.4

Divide $- y' y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.4

Sustituye $y'$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$