Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + 8 x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 8 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 8 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$x (x + 8) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 5.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 8$

Paso 7

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0, - 8$

$x = 4$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 8, 4$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 4 = 0$

Paso 10.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 10)}^{2} + 8 (- 10)}{(- 10) - 4} > 0$

Paso 12.1.3

$- 1.\overline{428571}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 8 (- 4)}{(- 4) - 4} > 0$

Paso 12.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2)}^{2} + 8 (2)}{(2) - 4} > 0$

Paso 12.3.3

$- 10$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} + 8 (6)}{(6) - 4} > 0$

Paso 12.4.3

$42$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 8 < x < 0$ o $x > 4$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 8, 0) \cup (4, \infty)$

Paso 15