Cálculo Ejemplos

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

Paso 1

Factoriza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Paso 3

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

Paso 4

Expande $(1 - u^{2}) u^{3}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Paso 4.2

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Paso 4.3

Factoriza el negativo.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

Paso 4.5

Suma $2$ y $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Paso 4.6

Reordena $u^{3}$ y $- u^{5}$ .

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$