Cálculo Ejemplos

{sec}^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$

Paso 1

Factoriza

$\sec (x)$ de

$\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , donde

$u = \sec (x)$ y

$d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Paso 3

Eleva

$\tan (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Paso 4

Eleva

$\tan (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Paso 5

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Suma

$1$ y

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Paso 6.2

Reordena

$\tan^{2} (x)$ y

$\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Paso 7

Mediante la identidad pitagórica, reescribe

$\tan^{2} (x)$ como

$- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Paso 8

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 8.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 8.3

Reordena

$\sec (x)$ y

$- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 9

Eleva

$\sec (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 10

Eleva

$\sec (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Paso 11

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Paso 12

Suma

$1$ y

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Paso 13

Eleva

$\sec (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Paso 14

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Paso 15

Suma

$2$ y

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Paso 16

Divide la única integral en varias integrales.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 17

Dado que

$- 1$ es constante con respecto a

$x$ , mueve

$- 1$ fuera de la integral.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 18

La integral de

$\sec (x)$ con respecto a

$x$ es

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 19

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 19.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 20

Al resolver

$\int \sec^{3} (x) d x$ , obtenemos que

$\int \sec^{3} (x) d x$ =

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Paso 21

Multiplica

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ por

$1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Paso 22

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$