Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + x^{2}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $1 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + x^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos opuestos en $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $- 2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Suma $2 x + 2 x$ y $0$ .

$\frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.3

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 3.7.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Paso 3.7.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Paso 3.7.4

Aplica la regla del producto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$