Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x - 1) e^{3 x + 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = e^{3 x + 2}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 2}] + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x + 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 2$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 2$ .

$(x - 1) (e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + 0) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} \cdot 3 + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $(x - 1) e^{3 x + 2}$ .

$3 \cdot ((x - 1) e^{3 x + 2}) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + 0)$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} \cdot 1$

Paso 3.10.2

Multiplica $e^{3 x + 2}$ por $1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x + 3 \cdot - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(3 x - 3) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$e^{3 x + 2} (3 x - 3) + e^{3 x + 2}$

Paso 4.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{3 x + 2} (3 x) + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Paso 4.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 e^{3 x + 2} x + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Paso 4.4.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 3 e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Paso 4.5

Suma $- 3 e^{3 x + 2}$ y $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$

Paso 4.6

Reordena los factores en $3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$ .

$3 x e^{3 x + 2} - 2 e^{3 x + 2}$