Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{1 - 9 x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{1 - 9 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{1 - 9 y} = x$ .

$\sqrt{1 - 9 y} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - 9 y}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - 9 y}$ como ${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - 9 y)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$1 - 9 y = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 y = x^{2} - 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- 9 y = x^{2} - 1$ por $- 9$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- 9 y = x^{2} - 1$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 1}{- 9}$

Paso 3.4.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = - \frac{{(\sqrt{1 - 9 x})}^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(\sqrt{1 - 9 x})}^{2} + 1}{9}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Reescribe ${\sqrt{1 - 9 x}}^{2}$ como $1 - 9 x$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - 9 x}$ como ${(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {({(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{9}$

Paso 5.2.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{9}$

Paso 5.2.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Paso 5.2.4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Paso 5.2.4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Paso 5.2.4.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Paso 5.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Paso 5.2.4.4

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 + 9 x + 1}{9}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $- 1 + 9 x + 1$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $9 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{9}$ al numerador.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 \frac{- x^{2}}{9} - 9 (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 (- 1) (\frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.4.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 1 (- x^{2}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.5

Multiplica.

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 1 x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 (- 1) (\frac{1}{9})}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Paso 5.3.7

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.7.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 5.3.7.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$