Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{x}{x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(y - 1) (x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - x = y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - x - y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - y = x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Paso 5.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.4.4

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 5.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Paso 5.3.4.4.4

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$