Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.3

Mueve ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 12

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 14

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 14.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 16

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 17

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.2

Multiplica $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.3

Simplifica el numerador.

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Paso 18.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18.5

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 18.5.1

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 18.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$