Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{12 x}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 x}]$ como $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{3 x}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $12 x$ como $2^{2} \cdot (3 x)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (3) x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 3 x}]$

Paso 1.1.3

Agrega paréntesis.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (3 x)}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{3 x}]$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 3

Como $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 12

Combina $3^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Paso 13

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1

Mueve $2$ a la izquierda de $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 13.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$