Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} (5 - 3 x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} (- 3 (2 x)) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x^{3} (- 6 x) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{4} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 6 x^{4} + (5 - 3 x^{2}) (3 x^{2})$

Paso 6

Mueve $3$ a la izquierda de $5 - 3 x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 3 \cdot (5 - 3 x^{2}) x^{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 x^{4} + (3 \cdot 5 + 3 (- 3 x^{2})) x^{2}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 x^{4} + 3 \cdot 5 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2} x^{2}$

Paso 7.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2})$

Paso 7.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2 + 2}$

Paso 7.3.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{4}$

Paso 7.3.4

Resta $9 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$