Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} (3 x^{2} - 20)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 3 x^{2} - 20$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 20] + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.5

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.6

Suma $6 x$ y $0$ .

$x^{3} (6 x) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x^{4} + (3 x^{2} - 20) (3 x^{2})$

Paso 6

Mueve $3$ a la izquierda de $3 x^{2} - 20$ .

$6 x^{4} + 3 \cdot (3 x^{2} - 20) x^{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{4} + (3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 20) x^{2}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Paso 7.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Paso 7.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Paso 7.3.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Paso 7.3.3

Multiplica $3$ por $- 20$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 60 x^{2}$

Paso 7.3.4

Suma $6 x^{4}$ y $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$