Cálculo Ejemplos

$x + \frac{1}{x}$

Paso 1

Escribe $x + \frac{1}{x}$ como una función.

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Paso 2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.10

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Paso 3.4.2.2

Suma $\frac{2}{x^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 6.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 6.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - x^{2}$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 6.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 6.5.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 6.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 6.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 6.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, - 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{1}$

Paso 10.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Divide $1$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Paso 12.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = 2$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

Paso 14.2

Divide $2$ por $- 1$ .

$- 2$

Paso 15

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Paso 16.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

$(1, 2)$ es un mínimo local

$(- 1, - 2)$ es un máximo local

Paso 18