Cálculo Ejemplos

$\arctan (x^{2} y)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{2} y$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.2

Combina $y$ y $\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x)$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Combina $2$ y $\frac{y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ .

$\frac{2 y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} x$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{2 y}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 y x}{1 + {(x^{2} y)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

$\frac{2 y x}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 y x}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$