Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3 - x^{3}}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 - x^{3}}$ como ${(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}}]$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ y $g (x) = 3 - x^{3}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 7.2

Combina ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 7.3

Mueve ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 12

Multiplica.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 12.2

Multiplica $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (3 x^{2})$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} x^{2}$

Paso 14.2

Combina $\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{{(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.5

Reordena los términos.

$\frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$