Cálculo Ejemplos

$\ln (\cos (x^{2}))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x^{2})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Paso 2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ a $\sec (x^{2})$ .

$\sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$ .

$- 2 x \sec (x^{2}) \sin (x^{2})$

Paso 5.2

Reescribe $\sec (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 5.3

Multiplica $- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

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Paso 5.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \frac{- 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 5.3.2

Combina $x$ y $\frac{- 2}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 5.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Paso 5.6

Combina $\sin (x^{2})$ y $\frac{2 x}{\cos (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x^{2}) (2 x)}{\cos (x^{2})}$

Paso 5.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x^{2}) x}{\cos (x^{2})}$

Paso 5.8

Separa las fracciones.

$- (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Paso 5.9

Convierte de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$- (\frac{2 x}{1} \tan (x^{2}))$

Paso 5.10

Divide $2 x$ por $1$ .

$- (2 x \tan (x^{2}))$

Paso 5.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x \tan (x^{2})$