Cálculo Ejemplos

$x (27 - x) (18 - 2 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x (27 - x)$ y $g (x) = 18 - 2 x$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [18 - 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $18 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 2.2

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (27 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (27 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (27 - x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x (27 - x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 2.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x (27 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (27 - x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 27 - x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [27 - x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $27 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 1 + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 1 \cdot x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \cdot 1)$

Paso 4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.8.1

Multiplica $27 - x$ por $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + 27 - x)$

Paso 4.8.2

Resta $x$ de $- x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5

Combina los términos.

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Paso 5.5.1

Multiplica $27$ por $- 2$ .

$- 54 x - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 54 x + 2 x \cdot x + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 54 x + 2 x^{1 + 1} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.7

Multiplica $- 2$ por $18$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.8

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x \cdot x + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{1 + 1} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.13

Multiplica $18$ por $27$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 2 x \cdot 27$

Paso 5.5.14

Multiplica $27$ por $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 54 x$

Paso 5.5.15

Resta $54 x$ de $- 36 x$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 90 x + 4 x^{2} + 486$

Paso 5.5.16

Resta $90 x$ de $- 54 x$ .

$2 x^{2} - 144 x + 4 x^{2} + 486$

Paso 5.5.17

Suma $2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 144 x + 486$