Cálculo Ejemplos

$y = (5 x - 1) (4 + 3 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 5 x - 1$ y $g (x) = 4 + 3 x$ .

$(5 x - 1) \frac{d}{d x} [4 + 3 x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(5 x - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(5 x - 1) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(5 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $5 x - 1$ .

$3 \cdot (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (5 x - 1) \cdot 1 + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.11

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 + 0)$

Paso 2.13

Simplifica la expresión.

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Paso 2.13.1

Suma $5$ y $0$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) \cdot 5$

Paso 2.13.2

Mueve $5$ a la izquierda de $4 + 3 x$ .

$3 (5 x - 1) + 5 \cdot (4 + 3 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (5 x) + 3 \cdot - 1 + 5 (4 + 3 x)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (5 x) + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 x + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Paso 3.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$15 x - 3 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$15 x - 3 + 20 + 5 (3 x)$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 x - 3 + 20 + 15 x$

Paso 3.3.5

Suma $- 3$ y $20$ .

$15 x + 17 + 15 x$

Paso 3.3.6

Suma $15 x$ y $15 x$ .

$30 x + 17$