Cálculo Ejemplos

$y = (3 x - 2 x^{2}) (5 + 4 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 x - 2 x^{2}$ y $g (x) = 5 + 4 x$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 + 4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $3 x - 2 x^{2}$ .

$4 \cdot (3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) \cdot 1 + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Paso 2.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Paso 2.12

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 (2 x))$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Paso 3.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Paso 3.5.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Paso 3.5.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Paso 3.5.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Paso 3.5.5

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x + 4 x (- 4 x)$

Paso 3.5.6

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x \cdot x$

Paso 3.5.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x)$

Paso 3.5.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x^{1})$

Paso 3.5.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{1 + 1}$

Paso 3.5.10

Suma $1$ y $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{2}$

Paso 3.5.11

Resta $20 x$ de $12 x$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 - 8 x - 16 x^{2}$

Paso 3.5.12

Resta $8 x$ de $12 x$ .

$4 x - 8 x^{2} + 15 - 16 x^{2}$

Paso 3.5.13

Resta $16 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$4 x - 24 x^{2} + 15$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$- 24 x^{2} + 4 x + 15$