Cálculo Ejemplos

$y = {(\arctan (5 x))}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \arctan (5 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\arctan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\arctan (5 x)$ .

$2 \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ y $2$ .

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}} \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{1 + 25 x^{2}}$ y $\arctan (5 x)$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Combina fracciones.

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Paso 3.4.1

Combina $5$ y $\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{5 (2 \arctan (5 x))}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$