Cálculo Ejemplos

$x \arctan (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \arctan (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $\arctan (x)$ por $1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

Paso 4

Para escribir $\arctan (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\arctan (x)$ por $1$ .

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.2

Reordena los factores en $x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ .

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$