Cálculo Ejemplos

$p (t) = \frac{2000 t}{4 t + 75}$

Paso 1

Como $2000$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{2000 t}{4 t + 75}$ con respecto a $t$ es $2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$ .

$2000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 t + 75}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 4 t + 75$ .

$2000 \frac{(4 t + 75) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2000 \frac{(4 t + 75) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $4 t + 75$ por $1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t \frac{d}{d t} [4 t + 75]}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 t + 75$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75]$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + \frac{d}{d t} [75])}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $75$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $75$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t (4 + 0)}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica los términos.

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Paso 3.8.1

Suma $4$ y $0$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - t \cdot 4}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2000 \frac{4 t + 75 - 4 t}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Resta $4 t$ de $4 t$ .

$2000 \frac{0 + 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.8.4

Suma $0$ y $75$ .

$2000 \frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.8.5

Combina $2000$ y $\frac{75}{{(4 t + 75)}^{2}}$ .

$\frac{2000 \cdot 75}{{(4 t + 75)}^{2}}$

Paso 3.8.6

Multiplica $2000$ por $75$ .

$\frac{150000}{{(4 t + 75)}^{2}}$