Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x + 3}{2 x}$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x + 3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $2$ y $\frac{x + 3}{2 x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6

Simplifica los términos.

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Paso 5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.4

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.5

Multiplica $\frac{x + 3}{x}$ por $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.7

Cancela el factor común de $x + 3$ y ${(x + 3)}^{2}$ .

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Paso 5.6.7.1

Factoriza $x + 3$ de $3 (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.6.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.7.2.1

Factoriza $x + 3$ de $x {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Paso 5.6.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Paso 5.6.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x (x + 3)}$