Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (e^{9 x} + 4)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{9 x} + 4$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{9 x} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{9 x} + 4$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{9 x} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 9 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 x$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 x$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.3.2

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{9 x}$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 \cdot e^{9 x} + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 e^{9 x} + 0)$

Paso 4.5

Combina fracciones.

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Paso 4.5.1

Suma $9 e^{9 x}$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 e^{9 x})$

Paso 4.5.2

Combina $9$ y $\frac{1}{e^{9 x} + 4}$ .

$\frac{9}{e^{9 x} + 4} e^{9 x}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{9}{e^{9 x} + 4}$ y $e^{9 x}$ .

$\frac{9 e^{9 x}}{e^{9 x} + 4}$