Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{6 + x}{6 - x}$ por $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 6 - x$ y $g (x) = 6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.6.3

Reescribe $- 1 (6 + x)$ como $- (6 + x)$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.7

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.8

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.11

Combina fracciones.

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Paso 5.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

Paso 5.11.2

Multiplica $\frac{6 + x}{6 - x}$ por $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $6 + x$ de $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.3.2

Combina los términos opuestos en $- 6 - x - 6 + x$ .

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Paso 7.3.2.1

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.3.2.2

Suma $- 6$ y $0$ .

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.3.3

Resta $6$ de $- 6$ .

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$