Cálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt{x y})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x y$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 10

Mueve ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 12

Multiplica ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Mueve ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 12.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 12.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{1}} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 13

Simplifica $2 {(x y)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x y)} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 14

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15

Simplifica los términos.

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Paso 15.1

Combina $y$ y $\frac{1}{2 x y}$ .

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 15.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x} \cdot 1$

Paso 17

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x}$