Cálculo Ejemplos

$y = {(3 x^{4} + 1)}^{4} (x^{3} + 4)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(3 x^{4} + 1)}^{4}$ y $g (x) = x^{3} + 4$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2}) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Paso 2.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(3 x^{4} + 1)}^{4}$ .

$3 \cdot {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 3 x^{4} + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{3} + 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 \cdot (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1]$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + 0)$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $12 x^{3}$ y $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3})$

Paso 4.7.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 48 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 48 \cdot 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Paso 5.2

Multiplica $48$ por $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Paso 5.3

Factoriza ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ de $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ de $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Paso 5.3.2

Factoriza ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ de $(48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$

Paso 5.3.3

Factoriza ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ de ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$

Paso 5.4

Reordena los factores de ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$ .

$x^{2} {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$