Cálculo Ejemplos

$y = {(2 x - 5)}^{4} {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ y $g (x) = {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ .

${(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 5)}^{- 3}] + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = 8 x^{2} - 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $8 x^{2} - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $8 x^{2} - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 3.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $8$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + 0)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $16 x$ y $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 3.6.2

Multiplica $16$ por $- 3$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x - 5$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 \cdot {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 5.5

Multiplica $2$ por $1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 5.6

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)$

Paso 5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.1

Suma $2$ y $0$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2$

Paso 5.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3

Combina los términos.

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Paso 6.3.1

Combina $- 48$ y $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{- 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3.3

Combina $x$ y $\frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{x \cdot 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3.4

Mueve $48$ a la izquierda de $x$ .

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48 \cdot x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3.5

Combina ${(2 x - 5)}^{4}$ y $\frac{48 x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 5)}^{4} (48 x)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3.6

Mueve $48$ a la izquierda de ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$- \frac{48 \cdot {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3.7

Combina $8$ y $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 6.3.8

Combina $\frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ y ${(2 x - 5)}^{3}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$

Paso 6.3.9

Para escribir $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} \cdot \frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$

Paso 6.3.10

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(8 x^{2} - 5)}^{4}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.10.1

Multiplica $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ por $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}$

Paso 6.3.10.2

Multiplica ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ por $8 x^{2} - 5$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.10.2.1

Multiplica ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ por $8 x^{2} - 5$ .

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Paso 6.3.10.2.1.1

Eleva $8 x^{2} - 5$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} {(8 x^{2} - 5)}^{1}}$

Paso 6.3.10.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3 + 1}}$

Paso 6.3.10.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 48 {(2 x - 5)}^{4} x + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$\frac{- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{3}$ de $- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ .

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Paso 6.5.1.1

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{3}$ de $- 48 x {(2 x - 5)}^{4}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.1.2

Factoriza $8 {(2 x - 5)}^{3}$ de $8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5) + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.4

Multiplica $- 5$ por $- 6$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.5.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 (x \cdot x) + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.5.2

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 12 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.5.6

Suma $- 12 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 4 x^{2} + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.7

Factoriza $- 1$ de $30 x$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) - (- 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (- 30 x)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.9

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.10

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.11

Reescribe $- (4 x^{2} - 30 x + 5)$ como $- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5)$ .

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

Paso 6.13

Reordena los factores en $- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ .

$- \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$