Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{5 x^{6} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 5 x^{6} - 1$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $5 x^{6} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (5 x^{6} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{6} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{6}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + 0)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $30 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $30$ por $- 1$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{2} x^{5}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{5}$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 (x^{5} x^{2})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{5 + 2}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $5$ y $2$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (5 x^{6}) + 2 \cdot - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (5 x^{6}) x + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $x^{6}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{6}$ .

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Paso 4.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (5 (x^{1} x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (5 x^{1 + 6}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.1.3

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{2 (5 x^{7}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{7} + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 x^{7} - 2 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Resta $30 x^{7}$ de $10 x^{7}$ .

$\frac{- 20 x^{7} - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza $2 x$ de $- 20 x^{7} - 2 x$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2 x$ de $- 20 x^{7}$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6} - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- 10 x^{6}$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1 (1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.7

Factoriza $- 1$ de $- (10 x^{6}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.8

Reescribe $- (10 x^{6} + 1)$ como $- 1 (10 x^{6} + 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Paso 4.10

Reordena los factores en $- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$