Cálculo Ejemplos

$y = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ y $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0)) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Paso 9

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Paso 10

Combina $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

Paso 11

Para escribir $x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

Paso 12

Combina $x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

Paso 14

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

Paso 15

Reescribe $\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$ como un producto.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Paso 16

Multiplica $\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ de $x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ .

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Paso 17.1.1.1

Reordena $x^{\frac{3}{2}}$ y $6$ .

$\frac{6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.1.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ de $6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.1.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ de $- 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.1.4

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.2

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{1} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.3

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x - (x + 1))}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1 \cdot 1)}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1)}{2 x^{3}}$

Paso 17.1.6

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

Paso 17.2

Combina los términos.

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Paso 17.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

Paso 17.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 17.2.3.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Paso 17.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Paso 17.2.3.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 17.2.3.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 17.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 17.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 17.2.3.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Paso 17.2.3.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{5}{2}}}$