Cálculo Ejemplos

$y = {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe ${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (5 x))$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 5

Convierte de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ a $\csc (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $5 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 6.2

La derivada de $\sin (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\cos (u_{3})$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $5 x$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 7.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 8

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{1}{x})$

Paso 9

Combina $\ln (\sin (5 x))$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

Paso 10.2

Combina los términos.

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Paso 10.2.1

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)$ .

$5 \cdot (e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)) \csc (5 x) \cos (5 x) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

Paso 10.2.2

Combina $e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}$ y $\frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$ .

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x) \csc (5 x) \cos (5 x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \cos (5 x) \csc (5 x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$