Cálculo Ejemplos

$y = {(\ln (x))}^{\cos (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\ln (x))}^{\cos (x)}$ como $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})$ ; para ello, mueve $\cos (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x) \ln (\ln (x))$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x) \ln (\ln (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 5

Combina $\frac{1}{\ln (x)}$ y $\cos (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 7

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\ln (x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

Paso 9.2

Combina $e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}$ y $\frac{\cos (x)}{\ln (x) x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x)) (- \sin (x))$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$- e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \sin (x) \ln (\ln (x)) + \frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x}$