Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \sqrt{64 - x^{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8}))$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{64 - x^{2}}$ como ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} (x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8}))]$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} (x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8}))$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8})]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 64 - x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $64 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $64 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 8.3

Mueve ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $64 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 10

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 20

Cancela los factores comunes.

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Paso 20.1

Factoriza $2$ de $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 20.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 23

Multiplica ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 24

Para escribir ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 26

Multiplica ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 26.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 26.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{1}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 27

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 27.1

Simplifica ${(64 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 27.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 27.3

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 \arcsin (\frac{x}{8})$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{8})]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{8})])$

Paso 28

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{8}$ .

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Paso 28.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}]))$

Paso 28.2

La derivada de $\arcsin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}]))$

Paso 28.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}]))$

Paso 29

Diferencia.

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Paso 29.1

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ y $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{64}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}])$

Paso 29.2

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{64}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} (\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 29.3

Simplifica los términos.

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Paso 29.3.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{64}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{64}{8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 29.3.2

Cancela el factor común de $64$ y $8$ .

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Paso 29.3.2.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 29.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 29.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}})} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 29.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 29.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 29.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \cdot 1)$

Paso 29.5

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}})$

Paso 30

Para escribir $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}})$

Paso 31

Para escribir $\frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \cdot \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 32

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 32.1

Multiplica $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \cdot \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 32.2

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ por $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 32.3

Reordena los factores de $\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}})$

Paso 33

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$

Paso 34

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}})}$

Paso 35

Simplifica.

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Paso 35.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{8}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$

Paso 35.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{8}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3

Simplifica el numerador.

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Paso 35.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 35.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1^{2} - \frac{x^{2}}{8^{2}}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{8^{2}}$ como ${(\frac{x}{8})}^{2}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{8}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{(1 + \frac{x}{8}) (1 - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{(\frac{8}{8} + \frac{x}{8}) (1 - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{8 + x}{8} (1 - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{8 + x}{8} (\frac{8}{8} - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{8 + x}{8} \cdot \frac{8 - x}{8}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.8

Multiplica $\frac{8 + x}{8}$ por $\frac{8 - x}{8}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \cdot 8}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.9

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.10

Reescribe $\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}$ como ${(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ .

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Paso 35.3.1.10.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(8 + x) (8 - x)$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{64}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.10.2

Factoriza la potencia perfecta $8^{2}$ de $64$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) (\frac{1}{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.12

Combina $\frac{1}{8}$ y $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.13

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 35.3.1.14.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.14.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- x^{2}) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{2 (4)} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.14.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2}) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{2 \cdot 4} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.14.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.15

Combina $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.16

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 35.3.1.16.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 (8) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.16.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 \cdot 8 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.16.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.17

Para escribir $8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.18

Combina $8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + \frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- \sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.20

Simplifica el numerador.

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Paso 35.3.1.20.1

Factoriza $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ de $- \sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4$ .

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Paso 35.3.1.20.1.1

Factoriza $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ de $- \sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2}) + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.20.1.2

Factoriza $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ de $8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2}) + \sqrt{(8 + x) (8 - x)} (8 \cdot 4)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.20.1.3

Factoriza $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ de $\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2}) + \sqrt{(8 + x) (8 - x)} (8 \cdot 4)$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 8 \cdot 4)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.1.20.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.2

Para escribir $8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.3

Combina $8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32)}{4} + \frac{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 35.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ como ${((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.2

Expande $(8 + x) (8 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 35.3.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{{(8 (8 - x) + x (8 - x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{{(8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{{(8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 35.3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 35.3.5.3.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{\frac{{(64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3.1.3

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 35.3.5.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3.2

Suma $- 8 x$ y $8 x$ .

$\frac{\frac{{(64 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.3.3

Suma $64$ y $0$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 32 + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 32 + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.6

Mueve $32$ a la izquierda de ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 32 \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.7

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.8

Suma $32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ y $32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 64 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9

Reescribe $- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 64 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 35.3.5.9.1

Agrega paréntesis.

$\frac{\frac{- ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 64 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.2

Factoriza $u_{3}$ de $- u_{3} x^{2} + 64 u_{3}$ .

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Paso 35.3.5.9.2.1

Factoriza $u_{3}$ de $- u_{3} x^{2}$ .

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2}) + 64 u_{3}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.2.2

Factoriza $u_{3}$ de $64 u_{3}$ .

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2}) + u_{3} \cdot 64}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.2.3

Factoriza $u_{3}$ de $u_{3} (- x^{2}) + u_{3} \cdot 64$ .

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2} + 64)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2} + 8^{2})}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.4

Reordena $- x^{2}$ y $8^{2}$ .

$\frac{\frac{u_{3} (8^{2} - x^{2})}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = x$ .

$\frac{\frac{u_{3} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.6

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.7

Simplifica.

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Paso 35.3.5.9.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.7.2

Mueve $8$ a la izquierda de ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.8

Sea $u_{4} = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{4}$ por todos los casos de ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(8 u_{4} + u_{4} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.9

Factoriza $u_{4}$ de $8 u_{4} + u_{4} x$ .

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Paso 35.3.5.9.9.1

Factoriza $u_{4}$ de $8 u_{4}$ .

$\frac{\frac{(u_{4} \cdot 8 + u_{4} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.9.2

Factoriza $u_{4}$ de $u_{4} x$ .

$\frac{\frac{(u_{4} \cdot 8 + u_{4} (x)) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.9.3

Factoriza $u_{4}$ de $u_{4} \cdot 8 + u_{4} (x)$ .

$\frac{\frac{u_{4} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.3.5.9.10

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Paso 35.4

Combina los términos.

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Paso 35.4.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Paso 35.4.2

Reescribe $\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$ como un producto.

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4} \cdot \frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Paso 35.4.3

Multiplica $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}$ por $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$ .

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4 (2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}})}$

Paso 35.4.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{8 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}})}$

Paso 35.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Paso 35.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Paso 35.5

Simplifica el denominador.

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Paso 35.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{64}{64} - \frac{x^{2}}{64}}}$

Paso 35.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{64 - x^{2}}{64}}}$

Paso 35.5.3

Reescribe $\frac{64 - x^{2}}{64}$ en forma factorizada.

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Paso 35.5.3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{8^{2} - x^{2}}{64}}}$

Paso 35.5.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = x$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}}}$

Paso 35.5.4

Reescribe $\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}$ como ${(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ .

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Paso 35.5.4.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(8 + x) (8 - x)$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{64}}}$

Paso 35.5.4.2

Factoriza la potencia perfecta $8^{2}$ de $64$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}}}$

Paso 35.5.4.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}}$

Paso 35.5.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 (\frac{1}{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)})}$

Paso 35.5.6

Combina $\frac{1}{8}$ y $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}}$

Paso 35.6

Combina $8$ y $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}}$

Paso 35.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 35.7.1

Reduce la expresión $\frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 35.7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}}$

Paso 35.7.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{1}}$

Paso 35.7.2

Divide $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ por $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Paso 35.8

Multiplica $\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Paso 35.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 35.9.1

Multiplica $\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Paso 35.9.2

Eleva $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Paso 35.9.3

Eleva $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1} {\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1}}$

Paso 35.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1 + 1}}$

Paso 35.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{2}}$

Paso 35.9.6

Reescribe ${\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{2}$ como $(8 + x) (8 - x)$ .

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Paso 35.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ como ${((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{({((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 35.9.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 35.9.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 35.9.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 35.9.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 35.9.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{1}}$

Paso 35.9.6.5

Simplifica.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{(8 + x) (8 - x)}$

Paso 35.10

Cancela el factor común de $8 + x$ .

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Paso 35.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{(8 + x) (8 - x)}$

Paso 35.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8 - x}$

Paso 35.11

Cancela el factor común de $8 - x$ .

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Paso 35.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{(8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8 - x}$

Paso 35.11.2

Divide $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ por $1$ .

$\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$