Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{3} x^{3})$

Paso 1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{3}}{3})] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - \frac{x^{3}}{3}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}}$ y $x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.4

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} (3 x^{2})) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3}{3} x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6.3

Combina $\frac{- 3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3 x^{2}}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.6.4.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- x^{2}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.6.4.2.4

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) (4 x^{3})$

Paso 4.8

Reordena los términos.

$(1 - x^{2}) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$