Cálculo Ejemplos

$y = x^{\ln (4 x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\ln (4 x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{\ln (4 x)})$ ; para ello, mueve $\ln (4 x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (4 x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Paso 5

Combina $\ln (4 x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 6.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{4 x}$ y $\ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 7.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 7.3

Simplifica los términos.

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Paso 7.3.1

Combina $4$ y $\frac{\ln (x)}{4 x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.3.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{\ln (x)}{x}$ por $1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 8.2

Combina los términos.

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Paso 8.2.1

Combina $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ y $\frac{\ln (4 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 8.2.2

Combina $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ y $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$