Cálculo Ejemplos

$y = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{2} (x)$ y $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 4

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 5

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {\sec (x)}^{2 + 2} \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 5.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Paso 7

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan^{2} (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \cdot \tan^{2} (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 8

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 9

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec (x) \sec (x)$

Paso 10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) \sec (x)$

Paso 11

Suma $1$ y $2$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec (x) \sec (x)$

Paso 12

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Paso 13

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Paso 14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}$

Paso 15

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$