Cálculo Ejemplos

$y = arcsec (3 x^{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arcsec (x)$ y $g (x) = 3 x^{3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 1.2

La derivada de $arcsec (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{{(3 x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{{(3 (x^{3}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $3 (x^{3})$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{3^{2} {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{3 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{3}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} (3 x^{2})$

Paso 2.6

Simplifica los términos.

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Paso 2.6.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} x^{2}$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$

Paso 2.6.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.6.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$

Paso 2.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \sqrt{9 x^{6} - 1})}$

Paso 2.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \sqrt{9 x^{6} - 1})}$

Paso 2.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x \sqrt{9 x^{6} - 1}}$