Cálculo Ejemplos

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 2})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 2}$ como ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{5} (x)$ y $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\log_{5} (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 x + 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 10

Mueve ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Paso 13

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Paso 13.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Paso 14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Paso 14.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Paso 16

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 17

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 19

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 20

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + 0)$

Paso 21

Combina fracciones.

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Paso 21.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \cdot 5$

Paso 21.2

Combina $\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$ y $5$ .

$\frac{5}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 2) \ln (5)}$

Paso 22.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Paso 22.3

Combina los términos.

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Paso 22.3.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Paso 22.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 4 \ln (5)}$