Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ y $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{9}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 6.2

Resta $7$ de $9$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 7

Combina $\frac{9}{7}$ y ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Paso 8

Multiplica $\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ por $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 9

Mueve ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ por ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Mueve ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ .

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 10.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 10.1.4

Suma $- 2$ y $9$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 10.1.5

Divide $7$ por $7$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 10.2

Simplifica $7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Paso 11

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 14

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 15

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

Paso 17

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Paso 18.2

Combina los términos.

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Paso 18.2.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Paso 18.2.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

Paso 18.3

Reordena los factores de $\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

Paso 18.4

Factoriza $7 x$ de $21 x^{4} + 35 x$ .

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Paso 18.4.1

Factoriza $7 x$ de $21 x^{4}$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

Paso 18.4.2

Factoriza $7 x$ de $35 x$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

Paso 18.4.3

Factoriza $7 x$ de $7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ .

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Paso 18.5

Multiplica $12 x^{3} + 5$ por $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ .

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Paso 18.6

Mueve $9$ a la izquierda de $12 x^{3} + 5$ .

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$