Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (x)}{4 x + 7}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 x + 7$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + 0)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 4}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina $7$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 + \frac{7}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Simplifica $- 4 \ln (x)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Combinar.

$\frac{x (4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot 4 + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.3.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 x + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{- x \ln (x^{4}) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- x \ln (x^{4})$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4})) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $4 x$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.7

Factoriza $- 1$ de $- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.8

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.9

Factoriza $- 1$ de $- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.10

Reescribe $- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ como $- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Paso 4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x \ln (x^{4}) - 4 x - 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$