Cálculo Ejemplos

$y = \arctan ({(3 x)}^{2})$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{2})]$

Paso 1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{2} x^{2})]$

Paso 1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (9 x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 9 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(9 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(9 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $9 (x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + 9^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 3.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 3.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Combina $9$ y $\frac{1}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} (2 x)$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Combina $2$ y $\frac{9}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{1 + 81 x^{4}} x$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{18}{1 + 81 x^{4}} x$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{18}{1 + 81 x^{4}}$ y $x$ .

$\frac{18 x}{1 + 81 x^{4}}$

Paso 3.6.4

Reordena los términos.

$\frac{18 x}{81 x^{4} + 1}$