Cálculo Ejemplos

$y = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.2

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Paso 2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Paso 2.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Paso 2.4.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Paso 2.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Paso 2.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Paso 2.4.4.2.4

Divide $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$