Cálculo Ejemplos

$y = e^{x^{5}} \ln (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x^{5}}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Paso 2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{5}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Paso 3

Combina $e^{x^{5}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} (5 x^{4}))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los términos.

$5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$

Paso 6.2

Reordena los factores en $5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$ .

$5 x^{4} e^{x^{5}} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$