Cálculo Ejemplos

$y = \frac{8 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Paso 1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8 \ln (x + 5)}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 5)}{x^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 5)}{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x + 5)$ y $g (x) = x^{2}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 5$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{x + 5}$ y $x^{2}$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (1 + 0) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} \cdot 1 - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{x^{2}}{x + 5}$ por $1$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6

Multiplica $\frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$8 (\frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combinar.

$8 \frac{(x + 5) (\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \frac{(x + 5) \frac{x^{2}}{x + 5} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{(x + 5) \frac{x^{2}}{x + 5} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 7.3.2

Reescribe la expresión.

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- \ln (x + 5) (2 x))}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x)}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 9.2

Combina $8$ y $\frac{x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x)}{(x + 5) x^{4}}$ .

$\frac{8 (x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{(x + 5) x^{4}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Simplifica $- 2 \ln (x + 5)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 (x (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x) + 5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) + 5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.4

Multiplica $5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x)$ .

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Paso 10.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - 5 (\ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.4.2

Reordena $\ln ({(x + 5)}^{2})$ y $- 5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - 5 \cdot \ln ({(x + 5)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.4.3

Simplifica $- 5 \cdot \ln ({(x + 5)}^{2})$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.5.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{2})}^{5}$ .

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Paso 10.3.1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({(x + 5)}^{2 \cdot 5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.5.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.7

Multiplica $8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}))$ .

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Paso 10.3.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 (x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.7.2

Simplifica $- 8 \ln ({(x + 5)}^{2})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.8

Multiplica $8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)$ .

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Paso 10.3.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - 8 (\ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.8.2

Reordena $\ln ({(x + 5)}^{10})$ y $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - 8 \cdot \ln ({(x + 5)}^{10}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.8.3

Simplifica $- 8 \cdot \ln ({(x + 5)}^{10})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.9.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{2})}^{8}$ .

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Paso 10.3.1.9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2 \cdot 8}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{10})}^{8}$ .

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Paso 10.3.1.9.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{10 \cdot 8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.1.9.3.2

Multiplica $10$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.3.2

Reordena los factores en $8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}) x$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.4

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 10.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{1} x^{4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{1 + 4} + 5 x^{4}}$

Paso 10.4.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Paso 10.5

Factoriza $x$ de $8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $x$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{x (8 x) - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Paso 10.5.2

Factoriza $x$ de $- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16})$ .

$\frac{x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16})) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Paso 10.5.3

Factoriza $x$ de $- x \ln ({(x + 5)}^{80})$ .

$\frac{x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Paso 10.5.4

Factoriza $x$ de $x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16}))$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Paso 10.5.5

Factoriza $x$ de $x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Paso 10.6

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} + 5 x^{4}$ .

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Paso 10.6.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} x + 5 x^{4}}$

Paso 10.6.2

Factoriza $x^{4}$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 5}$

Paso 10.6.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} x + x^{4} \cdot 5$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} (x + 5)}$

Paso 10.7

Expande $\ln ({(x + 5)}^{16})$ ; para ello, mueve $16$ fuera del logaritmo.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} (x + 5)}$

Paso 10.8

Expande $\ln ({(x + 5)}^{80})$ ; para ello, mueve $80$ fuera del logaritmo.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x^{4} (x + 5)}$

Paso 10.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.9.1

Factoriza $x$ de $x^{4} (x + 5)$ .

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x (x^{3} (x + 5))}$

Paso 10.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x (x^{3} (x + 5))}$

Paso 10.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Paso 10.10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.10.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{8 x - 16 x \ln (x + 5) - 1 \cdot 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Paso 10.10.2

Multiplica $- 1$ por $80$ .

$\frac{8 x - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Paso 10.10.3

Factoriza $8$ de $8 x - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)$ .

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Paso 10.10.3.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$\frac{8 (x) - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Paso 10.10.3.2

Factoriza $8$ de $- 16 x \ln (x + 5)$ .

$\frac{8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5)) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Paso 10.10.3.3

Factoriza $8$ de $- 80 \ln (x + 5)$ .

$\frac{8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Paso 10.10.3.4

Factoriza $8$ de $8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5))$ .

$\frac{8 (x - 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Paso 10.10.3.5

Factoriza $8$ de $8 (x - 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))$ .

$\frac{8 (x - 2 x \ln (x + 5) - 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$