Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\frac{3}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{x}$ .

$1 \frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $1$ .

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Paso 4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina $3$ y $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{1 - 2}$

Paso 9

Resta $2$ de $1$ .

$- x^{- 1}$

Paso 10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$