Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\tan (3 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\tan (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Paso 2

Reescribe $\tan (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Paso 3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Paso 4

Convierte de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ a $\cot (3 x)$ .

$\cot (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$\cot (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 5.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\cot (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3$

Paso 6.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$3 \cdot (\cot (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Paso 6.3.3

Reordena los factores de $3 \cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) \cot (3 x)$