Cálculo Ejemplos

$y = 2 x \cos (x^{2})$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \cos (x^{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 10

Multiplica $\cos (x^{2})$ por $1$ .

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Paso 11.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$