Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{2}{5}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.6.2

Resta $5$ de $2$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.8

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.9

Combina $5$ y $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{3}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.12

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $5$ de $5 x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (x^{\frac{3}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 3.8

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 4.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 4.7.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 4.9

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 4.10

Combina $6$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{6 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Paso 4.11

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 4.12

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.13

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.14.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 \frac{1}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.2

Combina $12$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{12}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{12}{x^{5}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$