Cálculo Ejemplos

$y = 3 x e^{4 x^{2}}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x e^{4 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x e^{4 x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{4 x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{4 x^{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{4 x^{2}}] + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2}$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (4 (2 x))) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (8 x)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{1} x (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{1} x^{1} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (x^{1 + 1} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Suma $1$ y $1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2

Mueve $8$ a la izquierda de $e^{4 x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (8 \cdot e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}} \cdot 1)$

Paso 10

Multiplica $e^{4 x^{2}}$ por $1$ .

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}})) + 3 e^{4 x^{2}}$

Paso 11.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$24 x^{2} e^{4 x^{2}} + 3 e^{4 x^{2}}$

Paso 11.3

Reordena los términos.

$24 e^{4 x^{2}} x^{2} + 3 e^{4 x^{2}}$

Paso 11.4

Reordena los factores en $24 e^{4 x^{2}} x^{2} + 3 e^{4 x^{2}}$ .

$24 x^{2} e^{4 x^{2}} + 3 e^{4 x^{2}}$